Considerando el sistema Ax = b con
\begin{equation}
\mathbf{A} =\bordermatrix{& \cr
	          &200 &199 \cr
	          &199 &198 \cr}, \ 
\mathbf{b} =\bordermatrix{& \cr
	          &399 \cr
	          &397 \cr}
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Hallar la soluci\'on del sistema Ax = b.\\\\
Del sistema obtenemos las siguiente ecuaciones:\\
\begin{equation}
399 = 200 x_1 + 199 x_2 
\end{equation}
\begin{equation}
397 = 199 x_1 + 198	 x_2
\end{equation}
Sin c\'alculos se puede visualizar la soluci\'on, (x$_1$,x$_2$)$^t$ = (1,1)$^t$ satisface las ecuaciones.
Si hubi\'esemos hecho los c\'alculos correspondientes para obtener la soluci\'on llegar\'iamos a lo siguiente:\\
De la ecuaci\'on n\'umero xxxx obtenemos x$_1$ y x$_2$:
\begin{equation}
x_1 = \frac{399-199 x_2}{200} 
\end{equation}
\begin{equation}
x_2 = \frac{397-199 x_1}{198} 
\end{equation}
Resolviendo este sistema de ecuaciones en matLab nos da
\begin{equation}
(x_1 , x_2)^t = (1.9747 , 0.020381)^t
\end{equation}
Este resultado no es el verdadero para la ecuación, pero es lo que se obtuvo resolviendolo en matLab.
Este error proviene de dividir en el \'ultimo despeje por un n\'umero muy chico. La verdadera soluci\'on del sistema es (1,1)$^t$.\\\\

\item Calculamos $K_{\infty}$(A). 
\begin{equation}
K_{\infty}(A) = \| A \| _{\infty} * \| A^{-1} \| _{\infty}
\end{equation}
Calculamos $\|$ A $\|$ $_{\infty}$ de la siguiente manera:
\begin{equation}
\| A \| _{\infty} = \max\limits_{1 \leq i \leq 2} \sum\limits_{j=1}^2 | a_{ij} | = 399\\
\end{equation}
Veamos (A$^{-1}$):
\begin{equation}
(A^{-1}) = \bordermatrix{& \cr
						&-198 &199 \cr
						&199 &-200 \cr}, \ 
\end{equation}
Calculamos $\|$ A$^{-1}$ $\|$ $_{\infty}$:
\begin{equation}
\| A^{-1} \| _{\infty} = \max\limits_{1 \leq i \leq 2} \sum\limits_{j=1}^2 | a_{ij} | = 399\\
\end{equation}
Entonces, 
\begin{equation}
K_{\infty}(A) = \| A \| _{\infty} * \| A^{-1} \| _{\infty} = 399 * 399 = 159201
\end{equation}\\\\

\item Hallar $x$ $\in$ R$^2$ en la direcci\'on de m\'aximo aumento de A.\\ 
Queremos encontrar un $x$ tal que $\max\limits_{x\neq0}$ $\frac{\| Ax \| _{\infty}}{\| x \| _{\infty}}$\\
Sea $\|$ x $\|$ $_{\infty}$ = 1 (normalizado), un $x$ $\in$ R$^2$ que maximiza a A es el (x$_1$,x$_2$)$^t$=(1,1)$^t$ dado que \\
$\|$ Ax $\|$ $_{\infty}$ = 399 = $\|$ A$\|$ $_{\infty}$. Tambi\'en maximiza a A el punto (-1,-1)$^t$.\\\\

\item Hallar $\beta$ $\in$ R$^2$ en la direcci\'on de m\'aximo aumento de A$^{-1}$.\\
Queremos encontrar un $\beta$ tal que $\max\limits_{x\neq0}$ $\frac{\| A^{-1}\beta \| _{\infty}}{\| \beta \| _{\infty}}$\\
Sea $\|$ $\beta$ $\|$ $_{\infty}$ = 1 (normalizado), un $\beta$ $\in$ R$^2$ que maximiza a A es el ($\beta_1$,$\beta_2$)$^t$ = (-1,1)$^t$ dado que 
$\|$ A$^{-1}$ $\beta$ $\|$ $_{\infty}$ = 399 = $\|$ A$^{-1}$ $\|$ $_{\infty}$. Tambi\'en maximiza a A el punto (1,-1)$^t$.\\\\

\item Construimos $\lambda$ $b$ = 0.01 * $\beta$ = (-0.01 , 0.01)$^t$, con $\beta$ = (-1,1)$^t$.\\
Sea $y$ = $x$ + $\lambda$ $x$. Vamos a calcular:
\begin{equation}
Ay = \beta + \lambda b
\end{equation}
Calculamos ($\beta$ + $\lambda$ b):
\begin{equation}
\beta + \lambda b = \bordermatrix{& \cr
	          &399 \cr
	          &397 \cr} \ + \bordermatrix{& \cr
	          &-0.01\cr
	          &0.01\cr} \ =
	          \bordermatrix{& \cr
	          &398.99 \cr
	          &397.01 \cr} \ 
\end{equation}
Ahora tenemos que resolver el siguiente sistema:
\begin{equation}
Ay  = \bordermatrix{& \cr
	          &398.99 \cr
	          &397.01 \cr} \ 
\end{equation}
Cuyos resultados en matLab son $y$ = ($y_1$, $y_2$)$^t$ = (4.97, -2.99)$^t$.\\
Como $y$ = $x$ + $\lambda$ $x$ = (4.97, -2.99)$^t$, $x$ = (1,1)$^t$ obtenemos el valor de $\lambda$ $x$,\\ 
$\lambda$ $x$ = $y$ - $x$ = (4.97, -2.99)$^t$ - (1,1)$^t$ = (3.97 , -3.99)$^t$\\\\

\item ¿C\'omo es $x$ respecto de $y$? Para eso, estimemos el error relativo, por matLab obtuvimos 3.99 :
\begin{equation}
\frac{\| y \| _{\infty}}{\| x \| _{\infty}} = \frac{3.99}{1} = 3.99
\end{equation}
Veamos la estimaci\'on del error relativo entre $\lambda$ $b$ y $b$ que nos devolvi\'o matLab: 
\begin{equation}
\frac{\| \lambda b \| _{\infty}}{\| b \| _{\infty}} = \frac{0.01}{399} = 0.000025063
\end{equation}

\item Veamos cu\'an ajustada es 
\begin{equation}
\frac{\| y \| _{\infty}}{\| x \| _{\infty}} \leq K_{\infty}(A) * \frac{\| \lambda b \| _{\infty}}{\| b \| _{\infty}}\newline
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{3.99}{1} \leq 159201 * \frac{0.01}{399} \newline
\end{equation}
\begin{equation}
3.99 \leq 3.99
\end{equation}

\item Conclusiones:\\
El n\'umero de condici\'on de una matriz nos va a permitir determinar cu\'anto cambia la soluci\'on de un sistema $A$ $x$ = $b$ al realizar
un peque\~na modificaci\'on en los coeficientes de $A$ \'o $b$. Estas modificaciones ocurren, por ejemplo, cuando los datos provienen de
medidas experimentales (que contienen errores) o cu\'ando los n\'umeros son aproximados por n\'umeros de punto flotante.  
En el ejercicio se considera el sistema $A$ $x$ = $b$ y se tiene una variaci\'on en $b$ dada por 0.01.\\
La saluci\'on exacta del sistema es 
\begin{equation}
x  = \bordermatrix{& \cr
	          &1 \cr
	          &1 \cr} \ 
\end{equation}
Mientras que la del sistema alterado $A$ $x$ = $b$ + $\lambda$ $b$. 
\begin{equation}
x + \lambda x  = \bordermatrix{& \cr
	          &4.97 \cr
	          &-2.99 \cr} \ 
\end{equation}
Para la norma $\|$ . $\|$ $_{\infty}$ se calcularon los errores relativos y tenemos
\begin{equation}
\frac{\| \lambda x \| _{\infty}}{\| x \| _{\infty}} = 3.99,  \frac{\| \lambda b \| _{\infty}}{\| b \| _{\infty}} = 0.000025063
\end{equation}
Lo cual era de esperar porque el n\'umero de condici\'on de $A$ es 159201, lo cual implica que se trata de un problema mal condicionado.
Si bien es un sistema compatible determinado, vectores linealmente independientes, 
donde el determinante de A distinto de cero pero es cercano a cero. Por lo tanto existe soluci\'on,
pero \'esta es muy sensible a pequeñas variaciones en los par\'ametros. Por tanto produce errores num\'ericos. El n\'umero de condici\'on de una matriz es siempre mayor o igual a 1, 
por lo que el sistema $A$ $x$ = $b$ estar\'a mejor condicionado cuanto m\'as pr\'oximo a 1 est\'e dicho n\'umero de condici\'on.
\end{enumerate}